IN-FIERNO Y ESTRATOS EN-PROFUNDIDAD: GROTHENDIEK EN DIÁLOGO LITERARIO CON DANTE, LOWRY, MELVILLE

Angie Hugheth y Fernando Zalamea

Traducción: Patricio Uribe

0. Grothendieck

Alexander Grothendieck (1928-2014) puede considerarse, junto con Hilbert, uno de los dos matemáticos más importantes del siglo XX. Se pueden distinguir seis períodos principales en su vasta producción [1]: (1) Análisis funcional, 1949-53; (2) Álgebra homológica, 1955-57; (3) Geometría algebraica, 1958-64; (4) Geometría aritmética, 1964-68; (5) Álgebra topológica y filosofía matemática, 1981-86; (6) Álgebra universal y cosmovisión, 1983-91.

El Tercer Período, desarrollado en torno al gigantesco Séminaire de Géométrie Algébrique (SGA), ofrece una arquitectura multicapa que une varias perspectivas profundas: un trabajo sistemático sobre fundamentos (esquemas, sitios, topos), una nueva apertura hacia el álgebra topológica abstracta (grupo algebraico fundamental), la construcción de diversas teorías cohomológicas que conducen al surgimiento de motivos, un amplio programa de ramificaciones en torno a las conjeturas de Weil y, de forma más general, una comprensión de las conexiones arquetípicas entre número y espacio. En palabras de Grothendieck, se entra en un nuevo ámbito que sirve de “síntesis entre dos mundos, hasta entonces contiguos y estrechamente solidarios, pero sin embargo separados: el mundo ‘aritmético’, en el que residen los llamados ‘espacios’ sin principio de continuidad, y el ‘mundo de las magnitudes continuas’, en el que residen los ‘espacios’ en el sentido propio del término (…) En la nueva visión, esos mundos, antes separados, forman solo uno” [2]. Así, más allá de la separación, gracias a una abstracción (libertad, proyectividad) proporcionada por los haces, una nueva suavidad (smoothness) matemática rige las interrelaciones entre la aritmética y la geometría. El cambio revolucionario de Grothendieck es tan simple como profundo: en lugar de (i) un espacio topológico X, considerar (ii) todos los haces sobre X y estudiar (iii) el topos TX formado por todos esos haces; entonces, la comprensión del TX abstracto y general (una estructura muy enriquecida) resulta ser la verdadera comprensión del X concreto y particular. Un doble proceso diferencial e integral gobierna la situación: explorar la multiplicidad a lo largo de todos los haces y enhebrar la unidad a lo largo de las propiedades de exactitud del topos.

A mediados de la década de 1960, Grothendieck imagina una «ensoñación», donde una forma común pretende unificar las diversas cohomologías (métodos algebraicos para capturar invariantes topológicos) que han surgido hasta entonces. Un «motivo» (unidad) se concibe como una base conceptual (o «corazón del corazón» [3]) sobre la cual se pueden representar diversas cohomologías (multiplicidad). Grothendieck imagina, como en una composición musical, que un motivo en-profundidad gobierna las variaciones superficiales que lo recubren. Al explorar las profundidades, emerge así la visión de algunos arquetipos universales globales (motivos independientes), que luego pueden proyectarse sobre estratos aritméticos locales (l-cohomologías). Estamos ante toda la potencia de la arquitectura de Grothendieck, donde fundamentos, perspectivas y mediaciones se mezclan en un edificio extremadamente armonioso. Variaciones discretas (Galois) y continuas (Riemann) producen un contrapunto denso, una dialéctica local/global rige la construcción de los conceptos principales (esquemas, topos, motivos), y todo se pone al servicio de la comprensión de las profundas conexiones entre número y espacio.

A continuación, conectaremos los topos, motivos y dibujos infantiles (dessins d’enfants) de Grothendieck con algunas fuertes imágenes literarias del Infierno de Dante, Bajo el volcán de Lowry y Moby Dick de Melville.

1. Dante

Nuestro mundo contemporáneo ha exacerbado un bosque de bosques (o selvas), donde se pierde cualquier tipo de orientación. Dante y Grothendieck pueden ser vistos como explorando dicho bosque [4], en busca de comprensiones elusivas. Dante ofrece un ascenso al Monte Purgatorio, guiado por las estrellas, un sol poniente, y un amor profundo. El camino está mediado por consideraciones estructurales y doctrinales, tanto religiosas como matemáticas, en búsqueda de un espacio absoluto (un «topos») desde el cual múltiples proyecciones alegóricas puedan iluminar nuestra contradictoria condición humana. Desde una perspectiva invertida [5], Grothendieck [6] produce un descenso a una noción de lugar (un «sitio»), desde el cual se extraen todas las perspectivas (“haces” sobre el sitio), para obtener una estructura alegórica universal sobre el lugar (un «topos»). La metodología principal sigue la construcción de un lenguaje sofisticado de localizaciones iteradas, que permiten tránsitos desde la fenomenología (sitio) a la inmanencia (topos).

Grothendieck ofrece una revelación (en un sentido dantesco [7]) de múltiples localizaciones, proyecciones y secciones, relacionadas con las estratificaciones morales [8] de Dante, en torno a su lucha por valorar la resistencia, la virtud y el deber. En el Infierno de Dante, cada nivel se aleja del Paraíso en correspondencia con la severidad del pecado correlativo. Esto obliga a un doble descenso y ascenso del Purgatorio, en diálogo natural con el vaivén (back-and-forth) entre los pliegues y despliegues de lo local y lo global en la teoría del topos de Grothendieck. Los desplazamientos de Dante, en direcciones opuestas entre la caída y el ascenso, son capturados en las ilustraciones de Doré para la Commedia [9]. En algunos puntos álgidos (inicio y final del Infierno), Dante y Virgilio aparecen, primero, en la Puerta del Infierno [10], en la boca de un abismo, inmersos en un paisaje que los excede, entrando en un sendero oscuro y desviando un horizonte más claro, y, segundo, a la Salida del Infierno [11], se estrellan en otro abismo, pero situado ahora en un plano invertido, buscando un horizonte por debajo, más allá de una puerta corta pero iluminada, compuesta de rocas al azar, que muestra de manera clara el camino a seguir. Las contraposiciones entre oscuridad y claridad, descenso y ascenso, localidad y globalidad, tipos y arquetipos —y sus inversiones en cada caso— producen un diálogo natural entre los estratos de Dante y Grothendieck. El proceso de teoría de categorías para escalar diversos niveles de abstracción en el topos, yendo de lo local a lo global, corresponde al ascenso a la Gracia y al Perdón en la escalada al Paraíso. Desde el principio (selva oscura) [12] hasta el final (camino al Infierno) [13], mirando estrellas más allá de nuestro alcance, seguimos el vaivén (back-and-forth) claroscuro entre la tempestad del Infierno y la suave luz del Firmamento [14]. Así, una oscuridad descendente se revela a través de la profundidad del ascenso [15].

Salvados por el bosque, seguimos siendo los herederos de Dante. Sumergidos en un giro semiótico polisémico, un espectro perceptivo expandido y una multivocidad informativa indefinida —bosque de bosques—, paradójicamente nos salva nuestra propia disolución. A un paso del Apocalipsis, nos salvamos de caer por puro azar. Casi por distracción, escapamos de un descenso al infierno. Una de las paradojas más extrañas de nuestro tiempo es descubrir que podemos escapar de la aniquilación precisamente gracias a nuestra desorientación. Sin ver, sin sentir, como diría Musil, nos perdemos en el bosque contemporáneo, pero, misteriosamente, sobrevivimos [16] gracias a nuestra propia insensibilidad. Si la ceguera se ha convertido así en un método útil de supervivencia, no está claro que, para las generaciones futuras, la falta de visión asegure un camino mejor. El imperativo moral de Dante, seguido siglos después por Grothendieck, queriendo trascender la decadencia de su época, seguirá siendo el paradigma de un artista –ya sea escritor o matemático– comprometido con cambiar el mundo y construir una Vita Nuova [17].

2. Lowry

La obra literaria de Malcolm Lowry, con su interminable urdimbre y trama, puede considerarse una de las mayores mixturas artísticas del siglo XX. Enrejado de ecos, repeticiones, cánticos, conjuros entre la vida y la obra, entretejidos de montajes, collages, ritmos sincopados y contrapuntos, superposición de tiempos y lugares, flashbacks, giros, avances y reveses, sedimentación de estratos complejos e inversiones, la técnica literaria de Lowry compone profundas acumulaciones de signos. Bajo el Volcán [18] (1940) invoca la infinita multiplicidad del mundo a través de varias redes, en torno a (1) un presente lúcido, doloroso, embriagador (citas, carteles, onomatopeyas), (2) un pasado feliz, expectante, utópico (recuerdos, narrativas, anhelos), (3) un futuro oscuro, horrible, aterrador (premoniciones, invocaciones, dudas). Tejiendo continuamente obsesiones y signos, Lowry ofrece una visión profunda de las elevaciones y caídas de la condición humana, de su fuerza y ​​fragilidad, suavidad y dolor, bien y mal, ascenso y caída. Sus referencias a imágenes dantescas son ubicuas a lo largo de la novela [19].

Una combinación de miradas a un interior (el alcoholismo del cónsul) y a un exterior (el paisaje mexicano) evoca muchos pasajes de La Clef des Songes [20] de Grothendieck, donde una profunda introspección se conecta naturalmente con una profunda sensibilidad hacia todo el cosmos que nos rodea. Capas, sedimentaciones, ensamblajes, evocan el Tercer Período arquitectónico de Grothendieck (EGA, SGA). Por otro lado, las técnicas literarias más originales de Lowry, siempre a través de alguna forma de «re-» –repeticiones, recuerdos, retomas–, encuentran un contrapunto natural con las compulsiones de Grothendieck en su Cuarto Período. La aparición de motivos, como complejos arquetipos aritméticos que rigen los tipos aritméticos lineales (cohomologías), se corresponde de alguna forma con la obsesión de Lowry con los (malos) presagios generales que rigen nuestras desgracias humanas. En lo profundo de la naturaleza, yaciendo en una especie de in-fierno y explotando a través de estratos en-profundidad, diversos signos universales rigen nuestros desastrosos caminos en la Tierra. Un motivo y sus variaciones que introducen una musicalidad apreciada tanto por Grothendieck como por Lowry, quienes siempre buscan algún tipo de armonía perdida (o Paraíso Perdido) en nuestro entendimiento.

Los motivos ofrecen una forma unitaria, universal, global y continua de abordar la variedad de cohomologías particulares, locales y discretas. La dialéctica entre lo Múltiple y lo Uno adquiere una expresión natural a través de la visión de Grothendieck. Las “conjeturas estándar”, estrechamente relacionadas con los motivos [21], ofrecen una forma poderosa de demostrar las conjeturas de Weil, mediante una ingeniosa estratificación de interrelaciones algebraicas, geométricas y aritméticas. Una complejidad de tectónicas ocultas (motivos) y diversos flujos de lava (cohomologías) evocan la fuerza de los grandes volcanes mexicanos, el Popocatépetl y el Iztaccíhuatl [22], que encendieron la imaginación de Lowry. La trágica leyenda de los volcanes retoma los estados de ánimo trágicos de Dante, y es anterior a la concepción trágica de Grothendieck de nuestra época contemporánea (La Clef des Songes), dirigida a la destrucción de la civilización humana (historia del mal, fractura ecológica, desastre nuclear, aniquilación).

3. Melville

En una carta a su traductor japonés, Yuichi Tsuji, Grothendieck muestra su entusiasmo por Moby Dick:

La «Ballena Blanca» es una imagen simbólica, tomada del famoso libro Moby Dick (también el nombre de la ballena) de Melville– el libro narra la persecución de la «Ballena Blanca» por el capitán Ahab, y termina con el naufragio total del barco, mientras la ballena huye eternamente… Es el símbolo del ideal elusivo, siempre inalcanzable, incluso cuando uno se siente cerca de capturarlo, y que fascina a algunos hombres que se lanzan a su búsqueda, que solo viven para él, con la imposible esperanza de alcanzarlo. Te recomiendo el libro (uno de los más hermosos que conozco), y al autor, Melville, sin duda uno de los raros espíritus verdaderamente originales del siglo pasado, un gran hombre… [23]

Entre 1849 y 1850, a los treinta años, Melville escribe Moby Dick a un ritmo desenfrenado, una obra literaria desproporcionada donde se cruzan géneros y se multiplican voces a escala cósmica, en un intento tremendamente complejo de reflejar la multiplicidad del mundo con fidelidad en una estructura literaria multirreferencial. Moby Dick une dos de los grandes motivos del romanticismo: la búsqueda de lo infinito, lo absoluto y lo trascendente, junto con la fusión polivalente, casi panteísta, del Yo con el Mundo. Las voces de Ahab e Ismael encarnan predominantemente estos dos motivos, pero nunca de forma abierta y siempre combinando resonancias de una con la otra. Muchos contrastes se repiten en la obra —mezcla revolucionaria de novela, tragedia, comedia, excursus práctico y tratado filosófico—, pero su gran riqueza reside en la extensa trama relacional de ecos y reflexiones intermedias delineadas sobre el soporte de la doble urdimbre subyacente– bien y mal, luz y sombra, salvación y condenación, esperanza y dolor, comunión y soledad, trascendencia y contingencia.

Moby Dick busca lo invisible más allá de una compleja red de signos mediadores (visibles), y entra así en un diálogo natural con Dante y Lowry. Sombras y espectros orientan muchos desarrollos de la novela. Los marineros del Pequod [24], lo Uno y lo Múltiple, representan tanto a la persona singular, perdida en la inmensidad, como a la humanidad entera, perdida entre panoplias de fantasmas. Más allá de los mares tempestuosos [25] que sumergen nuestro frágil entorno, “invisibles criaturas aladas (…) retozan a nuestro alrededor” [26]. El aire (pensamiento) y el mar (ferocidad) no pueden distinguirse en la suavidad de un Azul que lo inunda todo, y por donde transitan gigantescos leviatanes [27]. En teoría de categorías, esta comprensión de los horizontes entre la visibilidad (materialidad, representación, superficie) y la invisibilidad (idealidad, espectros, fondo profundo) se capta teóricamente mediante el lema de Yoneda. En el corazón de la teoría de categorías, el lema [28] muestra que cualquier categoría (pequeña) puede integrarse en una categoría completa de prehaces. Los objetos de la categoría inicial se asignan a sus funtores representables, que a su vez pueden considerarse límites de prehaces generales (no representables). Las no representaciones abren así la puerta a sombras y espectros, desde los cuales se deriva la luz, como límite de la penumbra. De manera similar, los dibujos infantiles (dessins d’enfants) de Grothendieck pueden entenderse como «fantasmas» que, añadidos a cualquier superficie topológica, producen una superficie de Riemann correspondiente. Mediante propiedades combinatorias muy simples y variables complejas, los dibujos infantiles (un juego infantil, en el Quinto Periodo de Grothendieck, anhelando la simplicidad) se encuentran en el corazón de la geometría, el análisis y el álgebra, y abren el camino para explorar muchos problemas profundos en la teoría de números.

4. Conclusión

Hemos explorado sondajes en fondos invisibles a lo largo de una firme tradición literaria, con especial referencia a la Commedia de Dante, Bajo el volcán de Lowry y Moby Dick de Melville. El trabajo matemático de Grothendieck se une a esa tradición al descubrir arquetipos profundos, globales y universales (p. ej., topos, motivos, dibujos infantiles), que se proyectan en tipos superficiales, locales y particulares (topológicos, aritméticos, analíticos). Desde un punto de vista filosófico, esto se acerca a un platonismo dinámico à la Lautman [29], donde un continuo vaivén (back-and-forth) entre lo conceptual y lo material guía la evolución del conocimiento. El “fango de la vida”, objetivo principal de la literatura, no es bien servido por las “aguas cristalinas” de la filosofía analítica. Así, frente al lenguaje puro y a la supuesta claridad, uno se sitúa en un complejo bosque de símbolos impuros, bajo la penumbra y los fantasmas, siguiendo perspectivas filosóficas multifacéticas.

Imaginación, metafísica y misticismo adquieren una enorme potencia en estas últimas variaciones, incorporando a filósofos olvidados pero fundamentales, como Valéry con sus Cahiers (1894-1945), Florensky con su Perspectiva Invertida (1919), Epstein con su Lirosofía (1922) o Bachelard con su Surracionalismo (1936) [30]. La riqueza de la literatura requiere herramientas ricas, complejas e híbridas para captar su fuerza filosófica. Más allá de cualquier intento reduccionista, esto es algo que aportan tradiciones filosóficas alternativas y transdisciplinarias, en un diálogo fructífero con las matemáticas modernas y contemporáneas.

Notas:

[1] Para una presentación completa, ver Fernando Zalamea, Grothendieck. Una guía a su obra matemática y filosófica, Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, 2019. 618 pp.

[2] Alexander Grothendieck, Récoltes et semailles, manuscrito, 1983-1986. Préface, p. 30.

[3] Ibid., Préface, p. 45.

[4] «Nel mezzo del cammin di nostra vita / mi ritrovai per una selva oscura / ché la diritta via era smarrita», Dante, Divina Commedia (C. I, 1-3). 

[5] Esto pone de relieve la Perspectiva Invertida de Florensky (1919). Véase, por ejemplo, Pavel Florensky, La perspective inversée suivi de L’Iconostase, Lausana: L’Age d’Homme, 1992.

[6] Grothendieck, un apátrida, se refugió en bosques y montañas durante su infancia en Le Chambon-sur-Lignon, escapando de las incursiones nazis en busca de judíos.

[7] «O voi ch’avete l’inteletti sani, / mirate la dottrina che s’asconde / sotto’l velame de li versi strani», Dante, Divina Commedia (C. IX, 61-63).

[8] Más allá de la Ética de Nicómaco de Aristóteles, que propone una comprensión de las virtudes como puntos de mediación entre los vicios extremos y los vicios como privaciones de algún Bien, Dante propone una jerarquización ordenada, donde una profundidad material dada se corresponde con la responsabilidad de la conducta humana al cometer el pecado-vicio en cuestión. Los estratos de in-fierno y en-profundidad resuenan así naturalmente en la Commedia.

[9] Gustave Doré, The Doré Illustrations for Dante’s Divine Comedy (136 plates), New York: Dover, 2012.

[10] Doré’s Illustrations, op. cit., image 3.7.

[11] Doré’s Illustrations, op. cit., image 34.133.

[12] Doré’s Illustrations, op. cit., image 2.1.   

[13] Doré’s Illustrations, op. cit., image 34.139.

[14] Llegamos entonces a lo esencial, a través de tinieblas y sombras. Véase Junichiro Tanizaki, In Praise of Shadows, Nueva York: Leete’s Island Books, 1977.

[15] «Aguzza qui, lettor, ben li occhi al vero, / ché ‘l velo è ora ben tanto sottile, / certo che ‘l trapassar dentro è leggero», Dante, Divina Commedia (C. VIII, 19-21).

[16] El movimiento ecologista radical de Grothendieck en la década de 1970, Survivre et Vivre, combatió la reducción a la mera supervivencia, para así poder acceder a una vida mejor. 

[17] La Vita Nuova de Dante (1292-1295), el jubiloso y siempre renovado canto de amor a Beatriz, es también una alegoría teológica en torno a las formas trinitarias, los estratos profundos, las jerarquías invertidas y, sobre todo, un modo de escritura completamente nuevo en la literatura occidental, que combina poemas y comentarios en prosa del mismo autor. La riqueza de esos planos estratificados pero conectados prefigura construcciones matemáticas tan gigantescas como las superficies de Riemann (1851).

[18] Malcolm Lowry, Under the Volcano (1940), A Critical Edition, Ottawa: University of Ottawa Press, 2015.  

[19] Para un estudio de las conexiones entre Dante y Lowry, véase Catherine Delesalle-Nancey, La Divine comédie ivre: Répétition, ressassement et reprise dans l’oeuvre en prose de Malcolm Lowry, París: Michel Houdiard Éditeur, 2010.

[20] Alexander Grothendieck, La Clef des Songes, manuscrito, 1987.

[21] Las conjeturas estándar siguen siendo problemas abiertos. Véase Zalamea, Grothendieck, op. cit., capítulos 9 y 12. 

[22] Las anotaciones de Ackerley y Large a Bajo el Volcán nos informan: “A su muerte, el Cónsul imagina ascender hacia sus nieves [Popocatépetl e Iztaccíhuatl] solo para ser arrojado al horno ardiente. Lowry pretendía que sus volcanes sugirieran el Monte del Purgatorio de Dante; el Cónsul los llama Beatriz y Dante” (cfr. Lowry, Under the Volcano, op. cit., p. 261). Las numerosas inversiones de Dante entre ascenso y descenso, ángeles y demonios, frío y calor, siguen presentes en Lowry y Grothendieck (y Melville, como veremos más adelante).

[23] Carta firmada en «Les Aumettes le 4.9.1986». Cfr. Zalamea, Grothendieck, op. cit., pág. 519.

[24] Véanse los maravillosos grabados de Rockwell Kent «El barco» (Capítulo XVI.1) y «Biográfico» (Capítulo XII.2), en: Moby-Dick, or The Whale, Illustrations by Rockwell Kent, Londres: The Folio Society, 2009, pp. 87, 72. 

[25] Kent’s «The Candles» (Chapter CXIX.1), Melville, Moby-Dick, op.cit., p. 640.

[26] Kent’s «The Symphony» (Chapter CXXXII), Melville, Moby-Dick, op.cit., p. 692.

[27] Kent’s «Cetology» (Chapter XXXII.1), Melville, Moby-Dick, op.cit., p. 166.

[28] Descubierto simultáneamente por Grothendieck y Yoneda (alumno de Mac Lane), se popularizó con el nombre del joven matemático japonés. Debería llamarse mejor el lema «Grothendieck-Yoneda».

[29] Albert Lautman, Essai sur l’unité des mathématiques et divers écrits, Paris: 10/18, 1977; Albert Lautman, Les Idées, les mathématiques et le Réel physique, Paris: Vrin, 2005.[30] Para un estudio más amplio de estos enfoques, véase Fernando Zalamea, Modelos en haces para el pensamiento matemático, Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, 2021, Capítulo 1.